Номера упражнений и разделов соответствуют книге: Красносельский М.А., Перов А.И.,
Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз.
1963.
-
(Упражнение 1.1) Найти и
построить графики угловых функций векторных полей, заданных на кривой \(x = \cos \pi
t\), \(y = \sin \pi t\) (\(0\le t \le 1\)) равенством:
-
\(\Phi (x,y) = \left \{y,-x\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x^{2}-y^{2},2xy\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x^{2}, y^{2}\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{1,\frac {1}{2}(x + |x|)\right \}\).
-
(Упражнение 1.2) Пусть
угловая функция, зависящая от параметра \(t\in [0,1]\), имеет вид \(\theta (t)\).
Найти вид угловой функции при переходе к новому параметру \(\tau \), связанному
с \(t\) равенством:
-
\(t = \tau ^{2}\),
-
\(t = 1 -\tau \),
-
\(t = t(\tau )\).
-
(Упражнение 1.3) Найти угловую функцию и с ее помощью вычислить вращение на полуокружности
\(x^{2} + y^{2} = 1\), \(y\ge 0\) (при различной ориентации) следующих векторных
полей:
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x, y\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{y,-x\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x^{2} + y^{2}, x^{2} -y^{2}\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x^{3} - 3xy^{2},3x^{2}y - y^{3}\right \}\).
-
(Упражнение 1.4) Вычислить
с помощью алгоритма из п. 1.5 вращение поля
\[ \left \{t\left (t-\frac {1}{4}\right )\left (t-\frac {1}{2}\right )^{2}\left
(t-\frac {3}{4}\right ), \left (t-\frac {1}{3}\right )^{3}\left (t-\frac {2}{3}\right
)^{2}\left (t-\frac {8}{9}\right )\left (t-1\right )\right \},\qquad 0\le t\le 1, \]
-
(Упражнение 1.4) Вычислить
с помощью алгоритма из п. 1.5 вращение заданных на полуокружности \(x^{2} +
y^{2} = 1\), \(y\ge 0\) векторных полей:
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x, y\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{y,-x\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x^{2} + y^{2}, x^{2} -y^{2}\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x^{3} - 3xy^{2},3x^{2}y - y^{3}\right \}\).
-
(Упражнение 2.2) Вычислить
с помощью алгоритма из п. 2.2 вращение на окружности \(x^{2} + y^{2} = 1\)
следующих векторных полей:
-
\(\Phi (x,y) = \left \{-x, -y\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{y,-x\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x^{2} - y^{2}, 2xy\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x^{2} + y^{4},2xy^{4}\right \}\).
-
(Упражнение 2.3) Пусть
функции \(\varphi (x,y)\) и \(\psi (x,y)\) дважды непрерывно дифференцируемы на
области \(\Omega \) вместе с границей \(\Gamma \) и не обращаются
одновременно в нуль. Покажите, пользуясь формулой Пуанкаре \(\gamma (\Phi ,\Gamma ) =
\frac {1}{2\pi }\oint _{\Gamma }\frac {\varphi \,d\psi -\psi \,d\varphi }{\phi
^{2}+\psi ^{2}}, \) что вращение поля \(\Phi (x,y)=\left \{\varphi (x,y),~\psi
(x,y)\right \}\) на \(\Gamma \) равно нулю (воспользуйтесь формулой Грина).
-
(Упражнение 2.5) Поле
\(\Phi \) на окружности называется четным, если в диаметрально противоположных точках
векторы направлены одинаково. Показать, что вращение четного поля
четно.
-
(Упражнение 2.6) Пусть в
диаметрально противоположных точках векторы поля \(\Phi \) симметричны относительно
некоторой прямой. Показать, что вращение поля равно нулю.
-
(Упражнение 2.8) Вычислить вращение поля касательных, направление которых
противоположно положительному направлению обхода замкнутой кривой \(\Gamma \).
-
(Упражнение 3.1) Вычислить вращение поля \(\Phi (x,y) = \left \{x, y\right \}\) на
границах областей, указанных на следующем рисунке:
-
(Упражнение 3.2) Вычислить индекс особой точки \(\left \{0,0\right \}\) следующих
векторных полей:
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x, y\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{y,-x\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x^{3} - 3xy^{2}, 3x^{2}y - y^{3}\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{\frac {x}{x^{2} + y^{2}},\frac {y}{x^{2} +
y^{2}}\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x+y,2x+2y\right \}\).
-
(Упражнение 3.3) Вычислить вращение векторных полей
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x, y\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{y,-x\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x^{3} - 3xy^{2}, 3x^{2}y - y^{3}\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{\frac {x}{x^{2} + y^{2}},\frac {y}{x^{2} +
y^{2}}\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x+y,2x+2y\right \}\),
на границе области, указанной на следующем рисунке:
-
(Упражнение 3.5) Можно ли
продолжить без нулевых векторов на квадрат \(|x| + |y | \le 1\) векторное поле \(\Phi
(x, y)\), заданное на границе равенствами
\[ \Phi (x,y)=\begin {cases} \left \{x, y\right \}& \textrm {при}\quad x, y \ge
0,\\ \left \{0, 1\right \}& \textrm {при}\quad x \le 0,~ y \ge 0 ,\\ \left \{x +
1, y + 1\right \}& \textrm {при}\quad x, y \le 0,\\ \left \{1, 0\right
\}& \textrm {при}\quad x \ge 0,~ y \le 0. \end {cases} \]
-
(Упражнение 3.6) Можно ли
продолжить без нулевых векторов на кольцо \(1 \le x^{2} + y^{2} \le R^{2}\) векторное
поле \(\Phi \), векторы которого на внешней окружности определяются
равенством \(\Phi (x, y) = \left \{x, y\right \}\), а на внутренней — равенством
\(\Phi (x,y) = \left \{-x, y\right \}\) ?
-
(Упражнение 4.1)
-
Пусть семейство \(\Phi (M,\lambda )\) гомотопно
соединяет некоторые два поля. Показать, что поля \(\Phi (M,\lambda _{1})\)
и \(\Phi (M,\lambda _{2})\) при любых
\(\lambda _{1},\lambda _{2} \in [0,1]\) гомотопны.
-
Пусть поле \(\Phi (M)\) непрерывно и не имеет нулевых векторов.
Показать, что оно гомотопно нормированному полю
\[ \Phi _{1}(M)=\frac {\Phi (M)}{\|\Phi (M)\|}. \]
-
(Упражнение 4.2) Докажите, что любые непрерывные векторные поля без нулевых векторов
на незамкнутой кривой гомотопны друг другу.
-
(Упражнение 4.3) Показать, что векторные поля с одинаковым вращением на \(\Gamma \)
могут быть негомотопны, если \(\Gamma \) состоит более чем из одной замкнутой кривой.
-
(Упражнение 4.4)
-
Показать, что на окружностях \(x^{2} + y^{2} = r^{2}\)
малого радиуса \(r\) векторное поле \(\Phi (x,y) = \left \{x + x^{2} +
y^{2}, y + x^{2} + y^{2}\right \}\)
гомотопно полю \(\Psi _{0}(x,y) = \left \{x,y\right \}\), а на окружностях
большого радиуса — полю \(\Psi _{\infty }(x,y) = \left \{x^{2} +
y^{2}, x^{2} + y^{2}\right \}\) (воспользоваться теоремой Руше).
-
Найти все особые точки поля \(\Phi (x,y) = \left \{x + x^{2} + y^{2}, y
+ x^{2} + y^{2}\right \}\) и вычислить их индексы (воспользоваться теоремой
об алгебраическом числе особых точек).
-
(Упражнение 6.1) Проверить, будет ли поле \(\Phi _{0}\) главной частью поля \(\Phi \)
в окрестности нуля в следующих случаях:
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x - y^{2},x^{2} +
x^{3}-2x^{2}y^{2}+3xy^{4}-y^{6}\right \}\), \(\Phi _{0}(x,y) = \left \{x -
y^{2}, x^{2}\right \}\);
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x - y^{2} + y^{3}, x^{2}\right \}\), \(\Phi
_{0}(x,y) = \left \{x, 0\right \}\);
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x - y^{2} + y^{10}, x^{2}\right \}\), \(\Phi
_{0}(x,y) = \left \{x - y^{2}, x^{2}\right \}\).
-
(Упражнение 6.2)
-
Вычислить индекс нулевой особой точки векторных полей:
\(\left \{x, y\right \}\), \(\left \{-x, y\right \}\), \(\left \{-x,
-y\right \}\), \(\left \{3x - 2y, 2x - 4y\right \}\),
\(\left \{2x - y, -4x + 2y\right \}\).
-
Доказать, что вращение векторного поля \(\Phi _{0}(x,y)=\left
\{a_{1}x+a_{2}y,b_{1}x+b_{2}y\right \}\) на замкнутой жордановой кривой
\(\Gamma \) равно \(\sign \Delta \), где
\[ \Delta =\det \begin {pmatrix} a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}, \end
{pmatrix} \]
если точка \(\left \{0,0\right \}\) лежит внутри \(\Gamma \), и равно нулю,
если точка \(\left \{0,0\right \}\) лежит вне \(\Gamma \).
-
Вычислить вращение поля \(\left \{2x - 3y + 10, -x + 4y - 5\right \}\)
на квадрате \(|x| + |y| = 1000\).
-
(Упражнение 6.3) Вычислить, пользуясь теоремой 6.2 (о вычислении индекса по
линеаризованному полю), если она применима, индекс нулевой особой точки векторных
полей:
-
\(\Phi (x,y) = \left \{\sin (x+y),\sin (x-y)\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{1 -\cos (2x-y), y\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x + 17x^{2}-y^{3},2y-9x^{3}\right \}\).
-
(Упражнение 6.4) Пользуясь теоремой об алгебраическом числе особых точек и теоремой
6.2 (о вычислении индекса по линеаризованному полю), вычислить вращение поля
\[ \Phi (x,y) = \left \{1+x-2y+y^{2},x^{2} - (1 - y^{2})^{2} + y(y-2)(2y-1)\right \}
\]
на окружности \(x^{2}+(y+1)^{2} = 4\).
-
(Упражнение 7.2) Вычислить индекс нулевой особой точки следующих векторных полей:
-
\(\Phi (x,y)=\left \{y,ax^{n}\right \}\),
-
\(\Phi (x,y)=\left \{x+y^{2},\sin (x^{2}+xy-y^{3}+4xy^{2})\right \}\),
-
\(\Phi (x,y)=\left \{x+y,e^{-\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}\right \}\).
-
(Упражнение 7.4) Вычислить индекс нулевой особой точки следующих векторных полей:
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x,a^{k}_{0}x^{k} + a^{k-1}_{1}x^{k-1}y + \cdots
+ a^{0}_{k}y^{k}\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{e^{x+y^{2}}-1,x^{2}-x^{3}+xy^{2}+x\sin {y}+\sin
{y^{2}}\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x^{2}-2xy+y^{3}+y^{4}\sin {\frac
{1}{y}}-x^{4}\sin {\frac {1}{x}},x-\frac {y^{2}}{1-x^{2}}\right \}\),
-
\(\Phi (x,y) = \left \{x-\frac {y}{1-x},\sin \left
(x^{2}+y^{2}+(2y+y^{2})\sum _{n=1}^{\infty }(n+1)x^{n}\right )\right \}\).
-
(Упражнение 7.6) Вычислить индекс нулевой особой точки следующих векторных полей
(воспользуйтесь леммой 7.2 о том, что нулевая особая точка векторного поля
\(\Phi(x,y)=\left\{\phi(x,y),\psi(x,y)\right\}\) изолирована тогда и только
тогда, когда изолирована нулевая особая точка поля
\(\Phi_{1}(x,y)=\left\{\phi(x,y),\psi(x,y)-\alpha(x,y)\phi(x,y)\right\}\)
и при этом индекс нулевой особой точки у полей \(\Phi\) и \(\Phi_{1}\) одинаков):
-
\(\Phi (x,y)=\left \{-x+x^{2}-2xy+y^{2},
x^{2}+3xy-x^{3}+9x^{2}y-7xy^{2}+64y^{3}\right \}\),
-
\(\Phi (x,y)=\left \{x+x^{2}+2xy+x^{3}-3xy^{2}+y^{4},
x^{2}+3xy+17xy^{2}+2y^{5}-2y^{6}+3x^{2}y^{4}\right \}\).
-
(Упражнение 9.2)
-
Пусть бесконечно удаленная точка \(z = \infty \)
является нулем или полюсом аналитической функции \(f(z)\). Индексом
бесконечно удаленной особой точки назовем
взятое с обратным знаком вращение поля \(f(z)\) на окружностях \(|z| = R\)
большого радиуса \(R\). Найти зависимость между порядком нуля или полюса
\(z = \infty \) и индексом этой особой точки.
-
Доказать, что сумма индексов всех особых точек (в расширенной
комплексной плоскости) функции
\[ f(z)=\frac {z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots
+a_{n-1}z+a_{n}}{z^{m}+b_{1}z^{m-1}+\cdots +b_{m-1}z+b_{m}} \]
равна нулю.
-
(Упражнение 10.2) Доказать, что система уравнений
\[ x=P(x,y),\quad y=Q(x,y) \]
имеет по крайней мере одно решение, если
-
\[ \lim _{|x|+|y|\to \infty }\frac {P(x,y)}{|x|+|y|}= \lim _{|x|+|y|\to
\infty }\frac {Q(x,y)}{|x|+|y|}=0. \]
-
\[ \varlimsup _{|x|+|y|\to \infty }\frac {|P(x,y)|+|Q(x,y)|}{|x|+|y|}<1.
\]
-
Доказать,
что система уравнений
\[ 2x + ty + \sin t(x + y) = 0,\quad x - 2y + \cos t(x + y) + t = 0,\quad x^{2} +
y^{2} = 1, \]
имеет по крайней мере одно решение (воспользуйтесь результатами п. 10.4).
