Мой учитель

Лекция о методе функционализации параметра или «акулов не бывает!»
Мне повезло!
Алексей: австралийский этап

Лекция о методе функционализации параметра или «акулов не бывает!»

Решиться написать о Марке Александровиче, Марке!, для меня было невероятно трудно. Решившись же, вначале я предполагал ограничиться описанием одного из его семинаров, запавших в память и произведших неизгладимое впечатление. Но начав писать, я довольно скоро стал ловить себя на том, что все чаще отвлекаюсь от собственно рассказа о семинаре на воспоминания о Марке вообще, однако ничего поделать с собой уже не смог — мне казалось, что выброси я хоть какую-то из фраз, и трудно будет понять: что, почему и как происходило на том далеком семинаре. И тогда я решил ничего не менять — пусть то, что я пишу, будет просто «потоком сознания», может быть в чем-то нелогичным и противоречивым, но так или иначе позволяющим приблизиться к пониманию, что такое (именно что, а не кто) был Марк Александрович Красносельский.

Вспоминая о нем, пытаясь сейчас проанализировать, как и в чем он повлиял на меня и моих товарищей, трудно удержаться от превосходных степеней и банальных фраз. Эти фразы еще можно было бы употреблять, будучи писателем и тонко чувствуя «меру», но я знаю один из многочисленных своих грехов — я не Лев Толстой, пишу трудно и коряво. Поэтому постараюсь описать Марка Александровича, вспоминая, по мере возможности, свои студенческие впечатления, когда я только-только был «принят», или, вернее, начинал приниматься в группу Марка или в его ученики — даже не знаю как точнее выразиться.

Если говорить честно, я до сих пор не уверен, могу ли, вернее, имею ли право называться учеником Красносельского. Ведь его «настоящие» ученики ходили с ним на рыбалку, гуляли и придумывали во время прогулок теоремы, дневали и ночевали у него дома, фактически стали его детьми. Я же оказался, если не ошибаюсь, последним из «воронежского поколения» и, может быть, в силу этого нетипичным учеником — «не гулял», «не рыбачил», «не..., не..., не... », а с годами стал занимался и вообще тематикой, хоть и «рожденной» Марком Александровичем, но все же достаточно сильно «перпендикулярной» его традиционным интересам — рассинхронизованными системами. И только много ругался в последние годы его жизни, о чем вспоминаю с мукой и стыдом... Впрочем, хватит, так как это уже не о Марке, а обо мне.

Впервые не понаслышке и не мельком, а более или менее существенно (для меня!) я столкнулся с Марком Александровичем, по-моему, на первом курсе, в 1967 или, скорее, 1968 году, когда он прочитал лекции по функциональному анализу всему потоку. Уже эти лекции поразили меня тем, как понятно и легко он рассказывал — фактически это были не лекции, а спектакль, театр — он писал на доске, задавал вопросы кому-то в аудитории, шутил и рассказывал анекдоты, и вместе с тем, железно держал всех в руках, мы работали, а не отдыхали даже во время многочисленных его шуток! Конечно, в то время сама мысль охарактеризовать лекции Марка Александровича как «театр» просто не могла бы прийти мне в голову, но ощущение простоты и красоты, которое потом неоднократно возникало после лекций МА, после той лекции просто подавило меня — как? мир-то оказывается устроен так просто! как же я сам этого раньше не видел? Да и не только меня, как можно было судить по возбуждению окружающих.

К сожалению, эти первые лекции стали, насколько мне припоминается, и чуть ли не последними лекциями Марка Александровича в ВГУ, читанными для студентов. Я могу ошибаться — может быть, Марк Александрович и читал что-то на старших курсах, но нам, нашему курсу, в этом смысле больше не посчастливилось. Тогда я многого не знал, я был еще «салажонком» и даже многочисленные слухи, гулявшие по факультету, до меня не доходили просто по той причине, что у меня не было соответствующих «контактов», а уж об истинных причинах исчезновения Марка Александровича я не мог и догадываться. Но впечатление об этих лекциях было настолько сильно, что никто после этого просто не мог сравниться с Марком Александровичем — я говорю это не в упрек остальным преподавателям, также сильно повлиявшим на меня, уважаемым и любимым мной, но, увы! — повторяю, никто и никогда в моих глазах уже не мог сравниться в этом плане с Марком Александровичем.

Следующая встреча с Марком Александровичем произошла для меня совершенно неожиданно. Это было, по-моему, весной 1971 года, когда я учился на четвертом курсе и уже достаточно сильно «прикипел» к Борису Николаевичу Садовскому, и под его руководством начал интересоваться мерами некомпактности и уплотняющими операторами. Как-то Борис Николаевич, кажется, после очередного семинара, отозвал меня и сказал, что Марк Александрович хочет со мной поговорить, и что если я не против, то должен подойти в строительный институт в такое-то время. — ???? Марк Александрович? Откуда он знает обо мне? Задать эти вопросы, хоть и простому и любимому мной, но все же существовавшему в моем представлении где-то высоко-высоко Борису Николаевичу я не решился.

В назначенное время я пришел в строительный институт на кафедру Рутицкого, и как-то совершенно буднично, как будто мы были знакомы уже давным давно, хотя это был мой первый! разговор с ним, Марк Александрович сказал, что вот здесь собирается семинар, на котором будут обсуждаться... (кажется, какие-то численные методы), и если я хочу, то могу походить, послушать. Так началось мое «вхождение» в... трудно даже подобрать точное слово во что. В окружение Марка? В ученики? Не важно, в конце концов, как это сообщество назвать. Основные ощущения от того времени — восторг и страх, легкость и одновременно постоянное напряжение. Восторг от тех моментов, когда понимал что-то, и страх... страх потому, что вокруг были ВЕЛИКИЕ Петр Петрович Забрейко, Яков Брониславович Рутицкий, Женя Лифшиц, Алеша Покровский, вечно ехидный Иван Емелин, имевшие мгновенные ответы на все вопросы Марка, и был маааалюсенький я, который, не скрою, достаточно часто что-то понимал, но еще чаще просто запоминал дословно, что говорилось вокруг, а потом за неделю до следующего семинара «жил» внутренним «перевариванием» всего этого.

Увы, и это время кончилось очень быстро — окончился семестр, прошли экзамены, летом я приходил уже домой к Марку Александровичу и старательно пытался отвечать на многочисленные вопросы-задачки, которые возникали у него непрерывно — по ходу разговоров «за жизнь», каких-либо обсуждений, и однажды, вычитывая по просьбе Марка Александровича готовившуюся в то время к печати монографию «Геометрические методы нелинейного анализа» как-то вдруг понял, что такое теоремы родственности. Но осенью ЭТО СЧАСТЬЕ КОНЧИЛОСЬ! Опять! Марк Александрович уехал! Я могу ошибаться во времени и даже в последовательности событий, потому что запомнил не время, а вопросы, мои попытки ответить на них, запомнил, как сидел и «впитывал» разговоры Марка с Петром Петровичем Забрейко, Юлием Покорным, Алешей Покровским и Женей Лифшицем.

Честно говоря, я не помню что было потом — словно провал в памяти. Какие-то эпизодические телефонные разговоры с Марком Александровичем, попытки самостоятельных занятий виброустойчивыми уравнениями второго порядка — в то время виброустойчивость и гистерезис стали одним из основных интересов Марка Александровича и он всех «близлежащих» щедро «одаривал» многочисленными вопросами и задачами. И вдруг, в один из дней Марк Александрович опять появился в университете, и я узнал, что он собирается выступить на семинаре на кафедре функционального анализа. Мне еще раз хочется извиниться перед всеми, кто наверняка будет поправлять меня и говорить: «это было не тогда, а тогда-то, и говорилось совсем другое, и того-то при этом не было, а наоборот тот-то был...», — ну и так далее. Я не запомнил по времени что и когда было — я жил от одного разговора с Марком до другого, от одной задачи до другой...

Семинар проходил, как обычно, вечером в аудитории 222 (могу ошибаться с номером!), вход в которую отгораживался от собственно аудитории рядами шкафов, в которых хранились труды семинара по функциональному анализу, курсовые и дипломные работы и еще какие-то старые папки. В аудитории помещалось человек 30 максимум, и в тот день она была заполнена, как всегда, когда выступал Марк Александрович, полностью. Как обычно, первые ряды и центральные места занимала «старая гвардия», а молодежь и «пришлые» — уже где придется.

Я занял свое любимое место во втором ряду в уголке, у окна, — и близко, все хорошо видно на доске, и не на виду, что на семинарах и лекциях Марка Александровича для меня было немаловажно, — всегда существовала реальная опасность, что в какой-нибудь момент раздастся вопрос Марка Александровича: «Алеша!» (или Женя, или Павел — Павел Евсеевич Соболевский, — если тот уж слишком громко начинал «шептаться» с каким-либо соседом, или — что хуже всего, — Витя!) — «тебе все понятно?» И тут наступал мучительный, по крайней мере для меня, «момент истины» — сказать: «всё», — так кто же его знает, а понял ли я или мне только кажется, что понял — уже за то короткое время, что я знал Марка Александровича, я хорошо познакомился с его излюбленной манерой, когда он в ходе рассказа «подводил» слушателей к казалось бы совершенно «очевидному» выводу, а потом показывал, что все оказывается не так просто, и в этой кажущейся очевидности скрыта какая-то совершенно неожиданная изюминка! Поэтому отвечать «все понял» было опасно. Но и отвечать «нет» тоже не хотелось, особенно, если казалось, что действительно понял — ведь вокруг были те, кто себя уже проявил и кто для меня был авторитетом, и мне тоже хотелось приобщиться к этому братству, показать, если откровенно, хоть и грубовато, что и я «не х... собачий!». Поэтому я всегда был готов к достаточно осторожному ответу типа: «да, мне кажется, что понял...». Нередко подобные вопросы сопровождались просьбой Марка Александровича рассказать в следующий раз подробно, с доказательствами, то-то и то-то, а то вот сам Марк Александрович этот факт продумал лишь вчерне... И как я понял уже много позднее, ближе познакомившись с Марком Александровичем, это было не кокетство, не игра и не педагогический прием. Марк Александрович был щедр, и не таил своих идей — у него всегда их было слишком много и он с готовностью «дарил» их — лишь бы не пропали!, лишь бы хоть кто-нибудь, не важно кто, «раскрутил» их до строгих доказательств!

Замечу, что эта щедрость Марка «заразила» многих его учеников. Ведь и разговор с Борисом Николаевичем, который фактически круто изменил мои только еще формировавшиеся, но, казалось, уже достаточно определенные интересы, был проявлением той самой щедрости, которую от Марка перенял Борис Николаевич. Насколько я понимаю (мне всегда неловко было спрашивать об этом Садовского напрямую), Борис Николаевич в какой-то момент решил, что Марк Александрович может дать мне больше, чем он сам, и он... «подарил» меня Марку — несмотря на то, что лишался одного из (увы, позволю себе быть нескромным) своих сильнейших в тот момент учеников.

Довольно долго мне казалось, что подобная щедрость — это норма в научном мире, но пообщавшись со многими математиками и нематематиками, и особенно, немного помотавшись по «заграницам», я понял, что не прав — увы, но подобная щедрость, к сожалению, — исключение в нашем мире, и присуща только незаурядным и сильным личностям, не боящимся конкуренции, а таких — единицы! Несколько раз потом, когда, работая в Институте проблем передачи информации, Марк Александрович уже позволял себе делиться со мной достаточно «деликатными» размышлениями и порой даже советовался, он рассказывал, что вот такой-то побывав на его семинаре, или прочитав его старую статью, стал использовать ту или иную идею или прием даже не ссылаясь на него — и каждый раз удивлялся этому, и каждый раз было видно, что ему даже не столько жалко этой идеи, или обидно, сколько он испытывал чувство неловкости за того человека и основным лейтмотивом была мысль: «ну как же мне теперь с ним говорить?» Впрочем, после каждого такого разговора он смеялся, говорил еще одну свою философскую фразу: «Витя, ну ты все понимаешь...?» и несколько мгновений спустя забывал об этом и переключался на очередную задачу.

Марк Александрович начал рассказ как обычно, не давая вначале никаких строгих определений, а описывая ситуацию, как если бы это была история о том, что происходило с ним во время рыбалки: «Пусть у нас имеется система автономных дифференциальных уравнений на плоскости...». И дальше пошло описание, как эта система «живет» — вот у нее есть положение равновесия, вокруг которого точки движутся почти по окружностям, потому что Марк Александрович успел уже предположить, что собственные значения линейной части уравнения, «болтаются» где-то около мнимой оси... Вот он как-то почти мимоходом сказал, чтобы все забыли на мгновение, что система нелинейная, потому что сейчас это не важно — и мне кажется, что все забыли, или, вернее, заставили себя отвлечься от этого — как кошка во время сна — ушки все равно слушают, нет ли опасности. Я не знаю, вероятно не все воспринимали это так как я, но для меня это было как кино — перед глазами живая система, которая чуть ли не дышит, ее точки бегают почти по кругу и их траектории плавно-плавно изменяются с изменением параметра. И вот здесь — «все вижу ясно», а вот здесь — «туман»!

Надо сказать, что к тому времени Марк Александрович уже несколько раз рассказывал мне про задачу о точках бифуркации, я успел просмотреть, вернее достаточно старательно изучить, несколько разделов из книжек Марка в первую очередь, конечно, ну и статей. Так что сама постановка задачи о том, что может произойти с системой дифференциальных уравнений при изменении параметров, от которых она зависит, была для меня не нова. Даже доказательства теорем были мне понятны. Но было одно НО! — все это пока было на таком уровне, что никаких ни эмоций, ни новых идей или постановок или даже просто вопросов у меня не вызывало — понятно, ну и понятно, но не более. Поэтому слушать Марка Александровича мне было легко, хотя с самой задачей я раньше знаком не был.

Продолжая рассказ, Марк Александрович постепенно и малыми порциями конкретизировал условия задачи, предполагая сначала, что правая часть уравнения зависит от скалярного параметра, затем, — что собственные значения линейной части уравнения пересекают в какой-то момент мнимую ось слева направо, и начал опять, казалось неторопливо, но понятно и подробно объяснять, что при этом будет происходить с решениями системы вблизи положения равновесия, теряющего устойчивость.

Вообще, следует отметить, что Марк Александрович никогда не «вываливал» на слушателей всю информацию при обсуждении того или иного вопроса. Он уделял изложению, т.е. собственно процессу и процедуре «повествования», очень много внимания. Каждый его ученик может бесконечно припоминать длительные и мучительные, и казалось, бесконечные итерации «писания» статей с многочисленными и пространными комментариями Марка Александровича о том, как надо писать, попытками добиться от нас ответа зачем мы такую-то фразу вставили именно в это место, и почему, наоборот, не написали в этом месте то, что нужно, руганью, если фраза была длинной и насыщенной сложносочиненными и сложноподчиненными оборотами — «Витя! Ты для кого пишешь? Для себя? Самая высшая форма уважения читателя — считать его дураком!» — что означало, что излагать надо максимально понятно и подробно. При этом Марк Александрович иногда буквально приходил в ярость, когда встречал в статье слова «очевидно», «ясно, что...», «легко видеть». А попытки поместить определение непосредственно перед тем местом, где оно нужно, занимали иногда несколько дней.

Частенько, уже во время работы Марка Александровича в Институте проблем управления, эти «сеансы» собирали «зрителей», заходивших как-бы ненароком в его кабинет и задерживавшихся там по свой воле или в качестве мгновенно приглашенных соучастников процедуры («посиди! — тебе будет полезно послушать»), которые получали истинное наслаждение, пытаясь задавить в себе спазмы смеха — ведь «экзекуция обучения» в данный момент проводилась не над ними!, а наблюдать за «обучаемым» со стороны действительно было смешнее любой пародии Райкина или постановки студенческого театра миниатюр. А Коля Бобылев, когда кто-то шел к Марку с 5-й или 10-й версией статьи, который был «за старшего» среди учеников Марка в ИПУ, и которому подобная экзекуция уже не грозила, потому что его мастерство писания статей уже «почти сравнялось» с мастерством Марка, иезуитски радостно потирал руки и предлагал брать плату «за вход» с желающих поприсутствовать при этом в кабинете.

Нередко очередная итерация правки статьи кончалась тем, что Марк Александрович, отчаявшись от нашей тупости и упрямства, брал ручку и сам начинал редактировать, вычеркивая иногда целые абзацы и вписывая вместо них пару-тройку слов, мгновенно делавших понятным то, что нам никак не удавалось, сопровождая процесс ставшей знаменитой фразой: «Не надо быть «умным»! Надо думать!», означавшей в переводе, что написано только то, что написано, и никто не обязан знать, а что же кроме этого у нас «умных» в голове, что мы при этом хотели, да поленились сказать, или не сумели.

Конгресс IFAC. Афины, 1996. Лекция

Я намеренно отвлекся от рассказа о семинаре, потому что почти каждый из его учеников, кто пытался впоследствии так же «легко» рассказать что-то, убеждался насколько это трудно сделать на практике. Когда я в глазах Марка Александровича уже достаточно «повзрослел», у меня было с ним несколько разговоров на эту тему, последний — на конгрессе по нелинейному анализу в Афинах в 1996 году, где Марк в блестящей манере своих лучших лекций 60-х годов сделал доклад о работах по конусно-гистерезисной тематике Алеши Покровского и своего последнего ученика Димы Рачинского, последнюю на моей памяти. Тогда Марк Александрович в ответ на мои поздравления признался (хотя это признание я уже слышал от него и раньше), что он волновался!, что подготовка к такой часовой лекции заняла у него четыре! часа, что он продумывал что именно, и в какой момент он будет писать на доске, в каких местах сделает паузу и пошутит: «людям надо дать расслабиться и переварить информацию!», — где он будет стоять и к кому во время рассказа будет преимущественно обращаться. И это при его почти 50-и летнем опыте чтения лекций!

Но вернемся к семинару... Казалось, не торопясь и без особого напряжения Марк Александрович довольно быстро, как ни странно, — или мне показалось, что быстро? — умудрился изложить всю геометрию потери устойчивости положения равновесия системы. И мне, поглядывавшему со своего места сбоку на сидящих, чтобы сравнить их реакцию со своей (я любил это делать — часто такое сравнение помогало уловить тот момент, когда ты начинал терять нить или, наоборот, вдруг в результате какой-то, вроде не относящейся к делу, реплики, прозреть) было ясно, что все, что рассказывает Марк Александрович понятно всем! А ведь здесь собрались люди не только тяготевшие к интересам Марка, и потому хорошо знавшие дифференциальные уравнения, но и занимавшиеся более далекими вопросами. Уже все четко понимали, что при одних значениях параметра решения системы, закручиваясь спиралью, приближаются к положению равновесия, а при других убегают от него.

И когда Марк Александрович, наконец, сказал, что это все было введение, а вот теперь он хочет «поймать» периодические решения, которые в этой ситуации должны! быть в любой малой окрестности положения равновесия при каких-то, увы! нам не известных значениях параметров — ни для кого не оставалось никакого сомнения, что такие решения должны быть! Куда же им деваться? Ведь «акулов не бывает!» — как любил выражаться Марк, когда хотел подчеркнуть, что обычно все устроено очень просто, а если что-то уж больно «накручено», то скорее всего мы не понимаем чего-то принципиального. К этому моменту на доске практически не было написано формул — лишь нарисованы те самые окружности и спирали с несколькими жирными точками и стрелками на них, но все определения, если и не были пока формально произнесены Марком, то во всяком случае в голове у каждого уже сидели, и в этот момент, казалось, вопрос Марка: «Витя! Тебе все понятно? Можешь дать определение...?» мне был не страшен.

Уже много позднее я понял, что это тоже был один из наработанных Марком Александровичем приемов — сначала заставить аудиторию или собеседника понять суть явления геометрически, — после того, как поверишь в него, вернее, «увидишь» его, доказательство провести бывает уже совсем несложно. И уже ясно было, что к этому моменту вся аудитория четко понимала, что происходит с системой — и это при том, что как я узнал позднее, став просматривать литературу по бифуркации Хопфа (а именно про нее, не употребляя соответствующего термина, рассказывал нам Марк Александрович), в то время слова «бифуркация Хопфа» употреблялись в статьях и книгах чуть ли не как синоним некоего «теста на избранность» — кто понял, что это такое, кто знает доказательства, тот как бы прошел экзамен на профпригодность. А Марк Александрович всех нас научил увидеть что там «внутри» этой самой «элитной проблемы» чуть ли не за 15 минут!

И вот тут Марк Александрович сформулировал то, что получилось в результате, предельно ясно: для того, чтобы найти периодические решения нужно выписать уравнение, в котором пространственная переменная (неизвестное пока еще начальное условие, из которого «выпускается» периодическое решение) будет равна оператору сдвига по траекториям уравнения за неизвестное время (это и будет период решения) и при неизвестном значении параметра. Итого получается, что мы имеем систему из двух уравнений (пространственная переменная-то двумерна), зависящую от четырех переменных — две координаты пространственной переменной плюс период решения и плюс значение параметра. И тут мгновенно, из минуту назад казавшейся абсолютно понятной каждому, задача опять превратилась в совершенно непонятную! Как найти решение этой системы? — все, к чему мы привыкли, относилось к определенным системам уравнений с достаточно хорошими свойствами, а тут — система недоопределенная (число переменных больше числа уравнений)! Да к тому же Марк Александрович еще сильнее решил «добить» слушающих — и заметил, что с топологической точки зрения здесь есть еще одна неприятность — множество решений выписанного уравнения в линейном случае состоит из континуума неизолированных точек! Это мгновенно испортило настроение всем «кто понимал», и в аудитории, где еще за секунду до того был слышен шепот, наступила некая напряженная пауза — понимаю, что это штамп, но было именно так! — настроение в аудитории мгновенно изменилось! Появилась непонятность! и при том, казалось, на ровном месте! «Театр» продолжался!

Здесь мне придется еще раз сделать отступление. Дело в том, что на математико-механическом, а позднее математическом факультете Воронежского университета, топологические методы анализа уже задолго, по-видимому, до моего появления были «в почете». И удивительного в этом ничего не было — начиная с работ Лере, многие университеты активно развивали топологическую тематику. Как мне кажется, отличие ВГУ от остальных университетов заключалось в том, что Марком Александровичем с учениками в начале 60-х годов была написана совершенно необычная, и совершенно зачаровавшая меня в то время (невольно напрашивается слово «классическая») книжка — «Векторные поля на плоскости». На нашем курсе эта книга изучалась в каком-то спецкурсе то ли в конце первого, то ли в начале второго курса, а может, и на третьем, — когда мы были разделены по специализациям, и написана она была настолько просто и понятно, и в то же время абсолютно строго, что уже на этих младших курсах студенты не испытывали никаких трудностей в ее «познании». А в результате получилось так, что на нашем факультете все, кто хоть как-то интересовался не просто учебой, но математикой, достаточно хорошо понимали геометрию и топологию решения уравнений. И для всех было понятно, что в нормальных ситуациях при «малом шевелении» уравнений с изолированным решением это решение тоже немного сдвинется, но ни в коем случае никуда не исчезнет. Но здесь ситуация была другой! Решений у того уравнения, которое нужно было бы «пошевелить», было бесконечно много, и они были неизолированы! Нас этому не учили! Именно это мгновенно (или, если честно, — после подсказки Марка Александровича) осознали все, и именно это было причиной появившегося в аудитории напряжения!

Марк Александрович был мастером «держать паузу». Вот и тут, рассказав все это, он стал ходить перед доской и наблюдать, как аудитория думает! И только через несколько минут, убедившись, что никаких конструктивных соображений из аудитории не поступает, он продолжил. Он сказал: «Ну что же, раз переменных больше, чем уравнений, давайте период решения и параметр определим как функцию пространственных переменных» (нет! пока не понятно! как определить, зачем, что это даст?). Подождал реакции... Ну смотрите, сказал он, давайте в произвольном месте на плоскости нарисуем «кривой прямоугольник» образованный пересечением двух лучей, выпущенных из положения равновесия, и двух концентрических окружностей с центрами в этом положении равновесия. Тогда, если мы пошевелим немного значение параметра, то можно заставить векторное поле «оператор сдвига минус пространственная переменная» «смотреть» внутрь прямоугольника на его сторонах, образованных окружностями, а если пошевелить немного период решения, то опять-таки, можно заставить векторное поле смотреть внутрь прямоугольника на его радиальных сторонах (что-то стало смутно проникать в голову!). И Марк Александрович нарисовал стандартную в теории векторных полей картинку кривого прямоугольника с торчащими внутрь на каждой его границе стрелками. Опять пауза... опять ожидание реакции... И вдруг, стало все понятно! Мне показалось, что всем! и сразу! Действительно! Ведь теперь ясно, что можно всегда так подобрать значения периода и параметра как непрерывные функции пространственной переменной, чтобы на границе нашего кривого прямоугольника вращение поля было отличным от нуля! Ну а дальше уже все совершенно очевидно — тогда будут решения, тогда понятно, что отброшенная в самом начале лекции нелинейность действительно не помешает, тогда... Все! Все ясно! Вот теперь все ясно до конца! Ясна идея, и теперь уже понятно какие оценки надо доказывать, что и как конкретно выписывать, чтобы провести строгое доказательство. Действительно — «акулов не бывает!» и мир устроен так просто!

Конгресс IFAC. Афины, 1996. Беседа...

Сейчас, перечитывая еще раз все написанное, мне опять приходит в голову вопрос, который раз за разом возникал, когда я возвращался к задаче о точках бифуркации, а с ней — и к идее функционализации параметра. Так все-таки, функционализация параметра — это действительно метод в строгом понимании этого слова или тривиальность? Дело в том, что и на собственном опыте, и наблюдая своих товарищей, я видел, что после осознания, идея функционализации параметра воспринимается как нечто совершенно очевидное — ну кому же не понятно, что в переопределенной системе надо как-то «зафиксировать» лишние переменные и задача станет решаемой обычными «книжными» методами. Но затем я вспоминаю многочисленные семинары, на которых и мои товарищи, и я, излагали эту идею, иногда дословно повторяя рассказ Марка Александровича, иногда — применительно к каким-то другим ситуациям. И каждый раз с неизбежными и непринципиальными поправками на лекционное мастерство рассказывавших я наблюдал одну и ту же картину — сначала непонимание и неверие слушавших, иногда яростное сопротивление и попытки найти ошибки в рассуждениях под совершенно «разумным» предлогом, что в таком сложном явлении разобраться таким простым способом невозможно. А под конец — признание, хотя и сопровождавшееся частенько обвинением: «ну, если бы ты с самого начала рассказал все понятно...»

Как закончился семинар, мне почему-то не запомнилось — то ли сказалось напряжение, в котором я вместе со всей аудиторией пребывал до того, то ли последовавшее за этим обсуждение было уже достаточно традиционным, шумным и малоинформативным. Не помню, просил ли Марк Александрович кого-то в следующий раз привести детальное доказательство рассказанной идеи, как это обычно им делалось, или его кто-то отвлек и этого сказано не было. Помню, что никакого публичного продолжения, в котором я принимал бы участие, не было — не было больше и семинаров! — я имею в виду регулярных семинаров Марка Александровича. Марк Александрович вынужден был перебраться из Воронежа в Москву. Я же почти два года до поступления к нему в аспирантуру виделся с Марком Александровичем эпизодически, примерно раз в два месяца — либо во время его кратких наездов в Воронеж, либо во время моих поездок на день-два к нему в Институт проблем управления.

Казалось, прошел семинар — и прошел! Но даже не проводя в течение долгого времени после этого формальных выкладок в обоснование рассказанного Марком приема, вернее метода функционализации параметра, в моей голове что-то изменилось — мне вдруг стали понятны многие, хотя, естественно, не все!, теоремы о точках бифуркации, с которыми я после того сталкивался в публикациях или «живьем». Я смог даже пробиться через громоздкое аналитическое доказательство самого Хопфа! Все было просто — надо было только «пошевелить» все имеющиеся в распоряжении параметры и посмотреть, что при этом произойдет с соответствующей задачей! И, наверное впервые, я применил этот метод на практике и написал подробные доказательства в существенно более «закрученной» ситуации, связанной с так называемым явлением субфуркации, будучи в аспирантуре.

Марк Александрович и до того момента несколько раз в разговорах спрашивал, понял ли я его доклад на том семинаре, и мягко подталкивал меня к написанию доказательства. Но мне каждый раз было лень это делать, а у Марка Александровича постоянно не хватало времени на то, чтобы написать все самому; давить же на учеников было не в его духе. И так письменного и достаточно детального изложения метода функционализации параметра в течение нескольких лет просто не существовало — это был типичный пример того, про что в математике говорят «фольклорно известный». Но после доказательства теоремы о субфуркации у меня уже не осталось никаких формальных предлогов отказываться от пожелания Марка Александровича написать, наконец, подробное изложение метода «в чистом виде».

Статья была нами написана и послана в только что образовавшийся тогда журнал «Nonlinear analysis: Theory, Methods & Applications». Но вскоре довелось случиться печальному инциденту с корейским «Боингом» над Камчаткой. Несмотря на то, что Марка Александровича о представлении в журнал хоть какой-нибудь статьи долго перед этим упрашивал главный редактор, и статья, таким образом, фактически была заказной, ее «потеряли» в редакции и «нашли» спустя лет пять, когда мы уже отчаялись дождаться публикации и в душе махнули на нее рукой. Так и получилось, что первое подробное, с доказательствами, описание метода функционализации параметра, в том виде как он был рассказан нам Марком Александровичем, появилось лишь в 1987 году — спустя более 15-и лет после того семинара! 

Мне повезло!

При вступлении молодого человека во взрослую жизнь большую роль играет случай. Одним может не повезти, и для них в определенный момент авторитетом станет какая-нибудь сомнительная личность «из подворотни». Немногим лучше вариант, когда людей вокруг много, а посоветоваться не с кем. Мне в этом плане повезло! Я встретил Бориса Николаевича Садовского, который стал моим первым научным руководителем и многому меня научил.

Конечно, в моей жизни были и другие люди, существенно повлиявшие на мои интересы. В школе – это учитель математики Давид Борисович Сморгонский, а также тогда совсем молодой профессор Борис Самуилович Митягин и студенты старших курсов матмеха ВГУ Витя Герштейн, Боря Кац и Володя Бондаренко, которые вели в математическом классе воронежской 58-й школы семинарские занятия. Именно они показали, насколько прекрасна математика. Позднее таким человеком стал, конечно же, Марк Александрович Красносельский, который «принял» меня у Бориса Николаевича и в профессиональном плане (да, во многом, и в жизненном) сделал из меня то, что в конце концов и получилось.

И все же, Борис Николаевич навсегда остался чем-то особым в моей жизни…

По-моему, впервые Борис Николаевич появился на моем горизонте, когда нас, студентов матмеха в конце 1968-го или начале 1969-го года, распределили по кафедрам. Я, как и практически все мои школьные товарищи, плавно перекочевавшие на матмех, Рустям Ахмеров, Леня Герштейн, Миша Каменский, Саша Соболев, Аля Родкина, Галя Гончарь, выбрали для дальнейшей специализации кафедру функционального анализа и операторных уравнений. Определяющим в нашем выборе было то, что это была кафедра Марка Александровича Красносельского, который на 2-м курсе прочитал нашему потоку несколько лекций по функциональному анализу и буквально влюбил всех в себя.

Борис Николаевич стал, если я не ошибаюсь, куратором нашей маленькой группы, и с первых дней начал вести спецкурс, который назывался как-то вроде «Три основных принципа функционального анализа». Я уже не помню, в рамках этого спецкурса или на отдельном семинаре Борис Николаевич также начал нам рассказывать про меры некомпактности и уплотняющие операторы (как мы позднее узнали, он рассказывал нам основы своей будущей докторской диссертации), а в дальнейшем – о применении теории уплотняющих операторов к исследованию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа.

Я не помню первого появления Бориса Николаевича перед нами, но каждый раз, когда я вспоминаю его, перед моими глазами неизменно встает тот образ, который наверняка запечатлелся и у всех, кто его знал – сухопарый, молодой (но уже седой) человек, абсолютно доброжелательный и уважительный по отношению к нам – мальчишкам и девчонкам (не могу вспомнить ни одного случая какого-либо раздражения или даже малейшего намека на грубость с его стороны), неимоверно аккуратный, и всегда с чувством юмора. Он как-то мгновенно смог расположить всех к себе. Внутренне каждый из нас почти сразу стал воспринимать его как «своего», почти нашего сокурсника, а с другой стороны – никогда ни он с нами, ни мы с ним не допускали ни малейшей фамильярности – он никогда не был для нас «Борей» или чем-то вроде этого, он был «Борисом Николаевичем», и определенная дистанция между нами всегда сохранялась.

Мне в Борисе Николаевиче импонировало все (возможно, потому, что воспитывался я в семье военного и некая четкость в человеке, своего рода «белая кость», всегда были моим идеалом), а уж представляю (да и не представляю, а знаю точно) как обожали его студентки! Но не только из-за этого я выделяю Бориса Николаевича из множества прекраснейших преподавателей, работавших в то время на матмехе, а позднее матфаке ВГУ. Дело в том, что в математическом классе в школе меня только влюбили в математику. Но насколько же все мы тогда еще были математически косноязычны, и как безнадежно вздыхал Борис Самуилович Митягин, когда делал публичный разбор наших работ после какой-то олимпиады. И лишь благодаря Борису Николаевичу мне удалось (надеюсь!) овладеть четкостью мышления и избавиться (опять же, надеюсь!) от математического косноязычия.

На спецкурсе и семинаре Бориса Николаевича все проходило с одной стороны буднично – он рассказывал нам теоремы, задавал вопросы и задачи на дом, – а с другой стороны, он как-то умудрялся постоянно всех вовлекать не просто в слушанье и конспектирование, а в постоянную работу, в «думанье». На семинарах периодически возникали обсуждения, шутки, но при этом атмосфера была исключительно рабочей и по-хорошему соревновательной. Он удивительно тонко чувствовал грань, когда нужно прерваться, чтобы дать возможность нам самим провести ключевое рассуждение – ведь именно такие маленькие победы вдохновляют молодых людей, заставляют их поверить в себя! Это как в виндсерфинге – чуть отстал, и волна ушла вперед, чуть поспешил, и волна накрыла тебя, а важно именно «поймать волну». Я сейчас практически вдвое старше «того» Бориса Николаевича, но совсем не уверен, что смог бы столь же мастерски «держать» аудиторию и без напряжения двигать ее вперед. Здесь нужен педагогический талант!

Самым замечательным было то, что Борис Николаевич придумывал для нас задачи не книжные, а реальные – с одной стороны еще не решенные, а с другой – такие, которые были бы нам по силам. При этом я слышал, как однажды в какой-то беседе с Марком Александровичем Красносельским Борис Николаевич совершенно искренне спросил: «Как Вы ухитряетесь находить задачи для всех Ваших многочисленных учеников?» Вот и нас на семинаре он постепенно стал вовлекать в решение настоящих задач. Одна из них, возникшая у Бориса Николаевича при рецензировании какой-то статьи по теории забывающих автоматов, не особо привлекла внимания в нашей группе. Но я был «всеяден» и стал думать над ней – фактически там шла речь о нахождении решения некоторого функционального уравнения, а как решать функциональные уравнения мне было в то время абсолютно непонятно, и именно это меня и зацепило. В результате появилась моя первая работа, опубликованная через год-полтора в только что открывшемся тогда журнале «Математические заметки». Чувствовалось, что Борис Николаевич был очень рад за меня, хотя каких-то громких хвалебных слов он и не произносил.

Другая задача заняла практически всю нашу группу надолго: при каких условиях для отображения, имеющего неподвижную точку, существует метрика, в которой отображение оказывается сжимающим? Мы долго обсуждали ее на семинаре, крутили с разных сторон, предлагали различные подходы, доказательства, находили в них ошибки, исправляли их, и так снова и снова. Самым интересным в этом была не только сама задача, а то, как Борис Николаевич заставлял нас все более четко формулировать мысли и проводить доказательства. Каждый, кто придумывал что-то новое, вызывался к доске и должен был рассказать свое доказательство под шквалом вопросов остальных участников семинара. И тут никакие «очевидно», «легко видеть» или «нетрудно доказать» не проходили! Вот это и было настоящее обучение математике. Как же нам повезло, что нашелся человек, который столько времени уделял этим бесконечным выслушиваниям наших «пробельных» рассуждений! В результате к летним каникулам задача так и не была решена, но у всех уже было ощущение, что мы ее вот-вот «добьем».

И тут случилось то, от чего не застрахован ни один ученый. Летом я решил посидеть в городской библиотеке просмотреть реферативный журнал по математике за последние годы, так как та самая задача о функциональном уравнении меня до конца не отпустила, и хотелось узнать, как и что делается в этом направлении умными людьми. Я просмотрел РЖМат лет за десять, если не больше (все номера, которые были в библиотеке), и законспектировал все, что казалось мне интересным. В частности, среди записей оказался реферат одной статьи некоего Мейерса (P. Meyers), которая, как мне показалось, имела отдаленное отношение к задаче об обращении принципа сжимающих отображений. В конце лета мы уже все истомились от безделья и загорания на пляже, и Борис Николаевич пригласил Леню и Витю Герштейнов и меня вспомнить, в каком состоянии наша задача и, возможно, завершить ее и приступить к оформлению статьи.

Мы сидели у него на большом балконе в квартире на Никитинской улице, и я вскользь упомянул о своих «раскопках». И тут Витя Герштейн вдруг насторожился (все-таки он был на пять лет старше), попросил подробнее изложить формулировки утверждений из статьи Мейерса и после минутной паузы объяснил мне популярно кто я такой! Оказалось, что статья Мейерса как раз и содержала ответ (немного в других терминах) на вопрос об обратимости принципа сжимающих отображений, которым мы занимались, а я этого даже не понял! Конечно, радости этот факт ни у кого не вызвал, и об опубликовании наших результатов теперь речи уже не было. Но Борис Николаевич как-то довольно спокойно вернул нас в рабочее русло, и мы решили подробнее изучить статью Мейерса, чтобы сравнить с ней наши почти завершенные рассуждения. В подобной ситуации многие и не столь молодые ученые могли «сломаться», но спокойная реакция Бориса Николаевича ясно показала нам, как такого рода вещи надо переживать. Увы, в науке всегда надо быть готовым к тому, что кто-то опередил тебя!

Для меня вся эта деятельность не пропала даром. Я на всю жизнь усвоил урок, что «прочесывание» литературы, если уж занялся каким-то вопросом, не надо оставлять на последний момент. Некоторое время я по инерции продолжал думать на тему сжимающих отображений, что вылилось в работу о связи уплотняющих и сжимающих операторов, которую опубликовали в трудах математического факультета ВГУ. Быть может, работа получилась по-студенчески «немного слишком» абстрактной, но я ее недавно перечитал – и мне не стыдно.

На четвертом курсе, в 1970-71г.г., вокруг Бориса Николаевича уже сплотилась достаточно тесная группа: Рустям Ахмеров, Миша Каменский, Аля Родкина и я, и мы весьма активно изучали теорию мер некомпактности и уплотняющих операторов, созданную Борисом Николаевичем. Эта теория с самого начала буквально пленила всех нас своей красотой. И у меня не раз возникал вопрос: как же Борис Николаевич умудрился все это разглядеть и развить из совсем короткого замечания Куратовского, на которое в литературе до того момента как-то не особо обращали внимание?

К концу четвертого курса моя судьба, как мне казалось, уже достаточно четко определилась: работать с Борисом Николаевичем и развивать по мере возможностей теорию уплотняющих операторов. И вдруг, все изменилось! Как-то в конце весны Борис Николаевич, кажется, после очередного семинара, отозвал меня и сказал, что со мной хочет поговорить Марк Александрович Красносельский, и если я не против, то мне надо подойти в строительный институт в такое-то время – там на кафедре Якова Брониславовича Рутицкого Марк Александрович проводит семинар по вычислительным методам. Задавать какие-то вопросы Борису Николаевичу я не стал – видимо, просто растерялся от столь неожиданного предложения. В назначенное время я пришел в строительный институт и там Марк Александрович предложил мне походить на семинар и «послушать». С этого момента начался новый этап моей жизни.

Я никогда не говорил на эту тему ни с Борисом Николаевичем, ни с Марком Александровичем, и не знаю, как и почему Борис Николаевич «подарил» меня Марку Александровичу. Может быть он решил, что Марк Александрович даст мне больше, может быть, – что ему трудно будет вывести в свет всех четверых – Рустяма, Мишу, Алю и меня. Не знаю. Но в любом случае, как хорошо, что они фактически избавили меня от проблемы выбора!

Внешне для меня ничего не изменилось – я продолжал посещать спецкурсы и семинары Бориса Николаевича, но круг задач, над которыми я стал думать, сильно изменился. Временами я даже завидовал Рустяму, Мише и Але – у них явно «вырисовывался» активный научный коллектив, они могли что-то обсудить друг с другом и, главное, посоветоваться с Борисом Николаевичем. А у меня ситуация была несколько иной – Марк Александрович вынужден был уехать в Москву, и я до окончания университета общался с ним либо во время его не столь уж частых наездов в Воронеж, либо (пару раз) сам ездил на несколько дней в Москву.

До сих пор я писал о том, что значил для меня Борис Николаевич в профессиональном плане. Но я постоянно ловлю себя на том, что каждый раз при воспоминаниях о Борисе Николаевиче у меня возникает просто ощущение теплоты. Борис Николаевич очень быстро стал относиться к нам, Рустяму, Мише, Але и мне, как к родным детям. И это чувствовалось не только по тому, сколько времени он проводил с нами, но и по тому, как он готов был биться за нас.

Борис Николаевич и Маргарита Алексеевна. Осень 1997-го

Одна из острых ситуаций возникла в самом конце обучения. В то время еще существовала практика распределения студентов на работу по окончании университета, а также получения ими рекомендации в аспирантуру. Поступить в аспирантуру без такой рекомендации было невозможно. Из нашей группы летом 1972 года оканчивали университет Рустям Ахмеров, Миша Каменский и Аля Родкина (мне же Марком Александровичем было предложено продолжить обучение еще на полгода – на факультете в тот год была организована небольшая группа с углубленным изучением основ теории автоматического регулирования, что было полезно ввиду моего планировавшегося поступления в аспирантуру Института проблем управления). По своим учебным показателям и Рустям, и Миша и Аля были безусловными претендентами на получение рекомендации в аспирантуру. И при распределении Рустям и Миша, как и ожидалось, без проблем получили рекомендацию на поступление в аспирантуру после окончания университета. Но каков же был всеобщий шок на факультете, когда у Али Родкиной с аспирантурой возникли проблемы! Дело в том, что Аля к тому времени успела выйти замуж за нашего однокурсника, который на аспирантуру не претендовал, и, под предлогом «чтобы не разбивать семью», при распределении им были предложены места учителей где-то в Воронежской области. Абсурдность и в определенном смысле унизительность этого предложения заключалась в том, что такого рода места обычно предлагались самым слабым студентам, перебивавшимся во время обучения с двойки на тройку. Аля же и ее муж все время учились практически на отлично. Борис Николаевич на заседании комиссии по распределению высказал свое возмущение подобным предложением и посоветовал Але не подписывать бумагу о распределении. В дальнейшем он пытался изменить ситуацию в ректорате, но эти попытки ни к чему не привели (да и вряд ли могли, поскольку вся ситуация была явно надуманной). Конечно, нам, студентам, подробностей никто особо не раскрывал, но доходили слухи, что Борис Николаевич готов был даже уйти с факультета, и его с большим трудом удалось удержать от этого шага. Здесь я могу ошибаться в подробностях и прошу у всех участников этих событий меня извинить за возможные неточности.

Для человека, незнакомого с «той» жизнью, поступок Бориса Николаевича должен казаться совершенно естественным. Ну, выступил преподаватель в поддержку своей студентки – так это же нормально! По человеческим меркам это, действительно, так. Но в то время любое выступление против решения начальства могло привести к весьма неприятным последствиям, как минимум в профессиональном плане, и такого рода действия Бориса Николаевича требовали мужества.

После университета я поступил в аспирантуру Института проблем управления в Москве к Марку Александровичу Красносельскому, и с тех пор стал видеться с Борисом Николаевичем достаточно редко, хотя и постоянно был в курсе того, что происходило и с ним, и вообще на факультете. Много позднее Борис Николаевич согласился быть одним из оппонентов по моей докторской диссертации, а затем несколько раз обращался ко мне с просьбой написать отзыв или выступить оппонентом по диссертациям его учеников. И каждый раз у меня не было ни тени сомнения – согласиться или отказаться – в работах его учеников явно чувствовался стиль Бориса Николаевича: ясные постановки задач, четкое изложение, выверенные доказательства.

За рабочим столом. Осень 1997-го

Хотелось бы упомянуть об одной черте, присущей нашим с ним «диссертационным» отношениям. Не секрет, что человек, которого приглашают быть оппонентом, достаточно часто просит диссертанта прислать ему «рыбу» (предварительный вариант) отзыва. В общем-то ничего криминального здесь нет, если оппонент использует эту «рыбу» не в качестве готового отзыва, а лишь для уточнения того, на чем стоит поставить акценты по мнению диссертанта или его руководителя. Но в наших отношениях с Борисом Николаевичем слово «рыба» не упоминалось ни разу. Когда я спросил Бориса Николаевича, не согласился бы он стать моим оппонентом по докторской диссертации и получил положительный ответ, я сразу же задал и второй вопрос, а не нужно ли рассказать ему подробнее о диссертации и не нужна ли «рыба» (в надежде, что ответ будет отрицательный) – и получил ожидаемый отрицательный ответ! И аналогично, когда Борис Николаевич несколько раз просил меня написать отзыв или выступить оппонентом по диссертациям его учеников, речи о «рыбе» тоже не возникало. Как-то мы все были воспитаны в том духе, что нужно все делать самому – самому изучить работу, самому составить впечатление о ней, самому посидеть и написать отзыв. Я пишу об этом потому, что, увы, такое отношение к оппонированию далеко не всегда и не для всех является само-собой разумеющимся.

Я не числюсь в списке учеников Бориса Николаевича, размещенном на его сайте. И это еще одно свидетельство деликатности Бориса Николаевича – он не мог себе позволить назвать учеником человека, который защитил диссертацию не под его руководством. Но сам я считаю себя учеником Бориса Николаевича, ведь именно благодаря ему я написал свои первые две научные работы и, надеюсь, научился чему-то и в математике, и в жизни.

Алексей: австралийский этап

Казалось, совсем недавно вечерами, будучи в командировке в Германии, я писал воспоминания о Марке Александровиче Красносельском, и вот ситуация повторяется — я снова за компьютером и пытаюсь как-то упорядочить и изложить свои воспоминания о любимом ученике Марка Александровича — Алеше Покровском.

За окном холодная московская осень, яркое солнце, деревья все в «золоте»… и от этой красоты еще тоскливее. Такая тоска несколько удивительна мне самому. Дело в том, что последние годы мы с Алексеем несколько отдалились друг от друга и общались от случая к случаю, и стали снова переписываться лишь немногим более полугода назад, занявшись одной задачей из матэкономики в том же духе, как в прошлые годы, когда Алексей был в Австралии — «по переписке».

Австралия… Написать об этом периоде математической жизни Алеши оказалось не так-то просто. Причина в том, что в это время я несколько раз приезжал в Австралию и жил у Алеши с Наташей дома. Мы много гуляли, говорили обо всем, а не только о математике. Естественно, отделить здесь математику от нематематики весьма непросто…

Есть еще один тягостный момент, для меня, по крайней мере, при написании таких воспоминаний, который я уже переживал, когда писал о Марке Александровиче Красносельском. Это страх что-то переврать или придумать, и ненароком кого-то обидеть. С Алешей этот страх даже больше, чем когда я писал о Марке, видимо, потому, что Марк был для меня все же в основном Учителем, а Алешка — в определенные периоды очень близким человеком.

Хочется еще немного пояснить, в чем для меня трудность воспоминаний об Алексее. Безусловно, одной из наиболее ярких черт Алексея было его постоянное дружелюбие к окружающим. Он как бы влюблялся в каждого нового человека, а уж если тот оказывался математиком, то Алексей проводил с ним много часов искренне и заинтересованно пытаясь вникнуть в новые задачи… Он готов был помогать и в математике и в обычных житейских вопросах чуть ли не любому, кто оказывался рядом. Примером тому — многочисленные гости, которые жили у них с Наташей в Австралии неделями, а иногда и месяцами. Конечно, огромная заслуга в этом Наташи: не каждый может справиться с почти постоянным присутствием в доме чужих людей… Может быть, поэтому среди людей, сталкивавшихся с Алексеем, я часто слышал слова, что он «душка», «мягкий» — эдакий математический альтруист, который сразу проникается любовью к окружающим и готов служить всем и всякому.

И все же, мой опыт удерживает меня от такой характеристики Алексея: я был свидетелем и случаев, когда с тем или иным человеком «теплых» отношений у Алексея не складывалось. В ответ на вопрос «почему?» Алексей чаще отмалчивался, иногда долго мялся и отвечал в том духе, что сам не знает почему, «неинтересно». Поэтому по большому счету в человеческом плане Алексей так и остался для меня «черным ящиком», и свое отношение к нему я и формировал так, как поступают с черным ящиком — по входо-выходным соотношениям пытался восстановить, что же там внутри у Алексея, каковы мотивы его поведения. Иногда он «раскрывался» и объяснял, почему он что-то делает так или иначе, а часто просто констатировал свое решение (особенно, если раньше кто-то с его мнением не соглашался) или говорил «не твое дело…». И в этой последней фразе не было для меня ничего обидного, так как я понимал, что он действительно не хочет «валить» на меня свои проблемы, или уже настолько окончательно принял какое-то решение, что считает бессмысленным тратить время хоть с кем-то на его обсуждение. Последний раз это «не твое дело, все равно не поймешь…» прозвучало недели за три до его смерти, во время последнего визита в Москву, когда он получил при мне по электронной почте какие-то неприятные новости из университета в Корке, а я машинально спросил, что его так расстроило. Влезать в душу с расспросами у меня как-то не получается, поэтому приходилось смотреть, слушать и сопоставлять…

Для меня нет сомнения, что одними из наиглавнейших в его жизни были две вещи — математика и семья. И, как мне кажется, именно эти два приоритета могут объяснить многие из его действий, по крайней мере, с того момента, как Марк Александрович, Алексей и еще некоторые сотрудники лаб. № 61 ИПУ перешли в ИППИ.

Как же Алексей попал в Австралию, жизнь и работа в которой, по моему мнению, стали весьма значимым этапом в его жизни? На работу в Австралию Алексей поехал где-то в середине 1992-го года. Что же сподвигло его на это?

Хотелось бы напомнить, что в современной российской истории начало 90-х годов XX-го века оказалось одним из самых трудных периодов. Это сказывалось на всем — и на уровне жизни, и на финансировании научных исследований, а значит, на самой возможности для ученого работать, и, что весьма важно, на ощущении стабильности и безопасности для себя и своих близких. И именно это опасение за судьбу своих детей было, как мне кажется, одним из ведущих мотивов в решении Алексея.

Другим весьма сильным мотивом было то, что за несколько лет до этого Алексей защитил докторскую диссертацию и, как это часто бывает со многими учеными после такого события, перед ним встал вопрос: а что же дальше — продолжать развивать ту же тему или попытаться начать что-то новое? В это время Алексей мне несколько раз говорил, что ему очень хочется проверить, способен ли он как-то применить свои знания и умения в «реальных», как он выражался, задачах. Возможно, стимулом к таким мыслям послужило появление незадолго до того в российских (советских) научных учреждениях настольных компьютеров. Естественно, что такие «игрушки» не остались без внимания молодой части научного сообщества, и Алексей был не исключением. Совместно с Рауфом Измайловым (а также многими другими сотрудниками Марка Александровича Красносельского, которые всегда принимали в той или иной мере участие в обсуждении работ друг друга) он провел несколько простейших, казалось бы, компьютерных экспериментов по визуализации линий уровня функций двух аргументов. И, как это часто бывает, начиная с некоторого момента, получаемые картинки оказались настолько странными, что неизбежно возник вопрос — а что же эти картинки представляют, реальные свойства функций или «аберрации», вызванные компьютерным способом моделирования? Естественно, с поставленной задачей довольно быстро разобрались, но сам вопрос «а насколько можно доверять результатам компьютерного моделирования?», по-видимому, уже тогда начал оформляться в голове Алексея. Поэтому, когда в 1992 году с подачи Игоря Фоменко, бывшего аспиранта М.А. Красносельского, Алексею предложили поучаствовать в австралийском гранте со схожей тематикой, он, после больших колебаний и советов с Марком Александровичем Красносельским, согласился.

Наконец, как мне казалось, сыграл свою роль и еще один фактор. Алексей на протяжении многих лет был одним из наиболее близких учеников Марка Александровича Красносельского, проводившим с ним практически все свое время, обсуждавшим не только математические проблемы, но и говорившим о жизни…, обо всем. Но в жизни любого ученого рано или поздно наступает момент (не может не наступить!), когда ему начинает хотеться большей самостоятельности, появляются свои интересы, идеи и задумки… Возможно, такой этап к 1992 году наступил и у Алексея… Но это лишь мои предположения.

Так или иначе, где-то в начале 1992 года мы узнали, что Алексей собирается поехать работать по гранту в Австралию. Как точно формулировалась тематика гранта, я не помню, но связана она была с проблемами численного анализа поведения сложных систем. Алексей, заметно волновался, так как эта тематика была для него нова, и серьезно готовился к будущей работе. И это было его еще одной отличительной чертой — в любой математический вопрос, который возникал в его жизни, он погружался полностью. Так и здесь, чтобы понять, какого рода трудности могут возникнуть в его работе в Австралии, он еще в Москве стал рассматривать вопрос о динамике дискретизованного отображения x→αx(1-x). И, как и в случае с уже упоминавшейся мной визуализаций линий уровня функций, здесь немедленно возникли интересные и необъяснимые эффекты.

Не вдаваясь слишком глубоко в описание возникших эффектов, изложу все же их суть, поскольку именно их анализ стал одной из центральных тем исследований Алексея на протяжении всего его пребывания в Австралии. Как известно, если последовательно вычислять итерации некоторой точки с помощью отображения x→αx(1-x), то при определенных значениях параметра α  типичная последовательность полученных итераций ведет себя со многих точек зрения «хаотично». А вот свойства типичной последовательности итераций дискретизованной системы оказалось кардинально отличными от свойств типичной последовательности «истинной» системы! Само по себе это не должно вызывать удивления, поскольку процедура дискретизации — это сильно нелинейная (разрывная) процедура и многие методы классического анализа, хорошо работающие при обычных (слабых) возмущениях, здесь и не должны бы работать. Удивительным оказалось другое: все мы на основании исторического опыта науки были воспитаны в духе «познаваемости мира», согласно которому при моделировании реальных процессов нужно лишь взять «достаточно точную модель», чтобы получить результат хорошо отображающий реальность. А в данной ситуации выяснилось, что ряд характеристик дискретизованного отображения никак «не хочет приближаться» к аналогичным характеристикам исходного непрерывного отображения, сколь бы мелкую (точную) дискретизацию мы не выбирали.

Чтобы разобраться в данной ситуации Алексей задействовал все возможности одного из самых мощных в то время компьютеров Cray©  на математических факультетах университетов Брисбена и Джилонга, о которых в Москве мы и мечтать не могли. Частенько, он полностью загружал их вычислениями на выходные и праздники, поскольку такая загрузка в рабочие дни начала вызывать нарекания со стороны остальных сотрудников соответствующих факультетов, чтобы убедиться, что полученные эффекты вызваны не недостаточной точностью дискретизации, а чем-то другим. Постепенно ситуация стала мало-помалу проясняться… Дискретизация отображения при вычислении итераций действовала как некая рандомизирующая процедура. Осознание этого послужило толчком к построению феноменологических моделей, основанных на теории случайных отображений специального вида, позволивших не только качественно, но и, главное, весьма точно количественно описывать возникающие эффекты.

Грантом, в рамках которого Алексей работал в Австралии, руководили Phil Diamond, работавший в Queensland University в Брисбене и Peter Kloeden из университета города Джилонг (под Мельбурном). Соответственно, Алексей часть времени проводил в Брисбене, а часть в Джилонге. Немного освоившись в Австралии, Алексей стал организовывать визиты к нему различных ученых из России. Частично это было вызвано его желанием выполнить работу по гранту на высшем уровне, частично же — желанием Алексея просто помочь материально своим товарищам, потому что даже те скромные (по австралийским меркам) деньги, которые получали в Австралии приглашенные ученые, по тогдашним российским реалиям были весьма существенным подспорьем. Но был, как мне кажется, и еще один мотив для таких приглашений. Алексей был воспитан в духе коллективного обсуждения математических проблем и для него общение с сильными коллегами близкими по «математической идеологии» было жизненно необходимой «средой обитания», а в Австралии такого общения явно не хватало, по крайней мере, на первых порах.

Мой первый визит в Австралию был организован по просьбе Алексея где-то спустя полгода после его приезда в Австралию, когда он должен был переместиться в Джилонг, а впоследствии я приезжал то в Джилонг, то в Брисбен на месяц-два еще раз пять или шесть. Переезд Алексея в Джилонг ознаменовал и некоторое расширение тематики проводимых им исследований. Частично это объяснялось тем, что научные предпочтения Питера Клоедена несколько отличались от предпочтений Фила Даймонда, частично же такое расширение интересов было естественно подготовлено предыдущей работой Алексея в Брисбене.

Дело в том, что исследование поведения дискретизаций отображения x→αx(1-x), о котором писалось выше, достаточно сильно повлияло на всю идеологию Алексея (и мою) при работе с компьютерными моделями. Напомню, что с распространением компьютеров в научной литературе все чаще стали появляться работы, в которых авторы на основе проводимого ими компьютерного моделирования «подтверждали» или «опровергали» различного рода математические гипотезы, которые строгими математическими методами доказать или опровергнуть не удавалось из-за их сложности. Особое распространение такого рода работы получили при исследовании так называемых хаотических систем. Честно скажу, что и меня и Алексея такого рода работы сильно раздражали, поскольку, как правило, в них приводились лишь красивые компьютерные картинки или достаточно скупые таблицы с численными данными, но не было главного — хоть какого-то обоснования того, что эти картинки соответствуют действительности. Последнее как бы подоразумевалось само собой. Именно поэтому исследования Алексея (а позднее и мои с совсем уж «элементарной» ситуацией моделирования фазовых портретов дискретизованных линейных систем, где также возникли «непонятки») так сильно порадовали наши «вредные души». Они продемонстрировали, что к результатам компьютерного моделирования следует относиться очень и очень осторожно, поскольку в ряде ситуаций известная и исторически казалось бы обоснованная панацея «повысить точность вычислений» может не дать желаемого — адекватности результатов компьютерного моделирования реальному поведению объекта.

Эти исследования показали, что при численном моделировании таких сложных систем, как хаотические, нужны какие-то общие и достаточно простые в техническом плане методы, которые позволяли бы оценивать точность и достоверность проводимого анализа. Казалось бы, в чем проблема? В литературе имеется множество различных критериев гиперболичности или хаотичности — бери любой и применяй. Но… оказалось, что применить их на практике в численном моделировании ох как непросто! Либо условия непроверяемые, либо достаточно сложны для программной реализации либо еще что-то. Результаты наших размышлений на эту тему достаточно быстро вылились в понятие полугиперболичности отображения, которое формулировалось в виде простых неравенств. Позднее, также под влиянием необходимости компьютерного моделирования, были предложены и исследованы такие обобщения понятия грубости динамики системы, как обратный и взаимный шедоуинг. Не останавливаясь на сути этих понятий отмечу лишь, что уже позднее, в Ирландии развитая в Австралии техника была Алексеем усилена и позволила абсолютно честно с точки зрения математических стандартов доказать хаотичность поведения ряда прикладных систем (с использованием результатов компьютерного анализа). Результаты исследований по этой тематике мы долго (в течение почти 15-и лет) оформляли в виде небольшой монографии. Такой срок частично объясняется трудностями писания книги четырьмя авторами, каждый из которых живет на расстоянии многих тысяч километров от другого. Частично же это было вызвано нашей общей научной «мобильностью», которая достаточно быстро отвлекла каждого из нас на другие задачи, после того как с этой всё (или хоть что-то?) стало более-менее понятно. Книга должна скоро появиться, но Алексей ее выхода не дождался…

Наверное, мои воспоминания об Алексее в Австралии были бы неполными, если бы я опустил «житейские детали». Я намеренно взял эти слова в кавычки, потому что от этих «деталей» существенно зависит и продуктивность работы ученого, да и сама возможность делать свое дело.

Алексей приехал в Австралию, как я уже упоминал, в один из самых напряженных моментов в нашей (всех тех, кто жил в 80-90-х годах в Советском Союзе, а позднее России) истории. Много нервов и моральных сил в те времена отнимали постоянные задержки с выплатой зарплат, отсутствие товаров и бесконечные очереди в магазинах и пр. А для ученого еще и начавшиеся бесконечные реорганизации в научных учреждениях, которые при всех правильных словах осуществлялись весьма и весьма топорно (если не употреблять более адекватные матерные выражения). О жизни в Австралии Алексей (как и все мы) имел весьма отдаленное представление и поэтому, естественно, поездка туда, да еще с семьей, была достаточно напряженным моментом. Каково же было удивление Алексея (а позднее и практически всех, приезжавших к нему), когда с первых же дней он встретил в высшей степени дружественную атмосферу, желание помочь, продуманность во всем… Можно сказать еще много лестных слов о людях, окруживших Алексея и его семью в тот момент. К тому времени в России, и в первую очередь в крупных городах, начал утрачиваться дух 50-х годов, когда можно было спокойно ходить по вечерним и ночным улицам, когда люди часто ходили в гости друг другу, собирали застолья и пели песни, когда дворы вечерами превращались в клубы для общения. И вот по приезде в Австралию эта уже забытая атмосфера вновь окутала Алексея и его семью. И Алексей, и Наташа потом много раз говорили мне, что были поражены готовностью помочь со стороны совсем незнакомых людей из русской общины и русской церкви в Брисбене. Конечно, даже не стоит и говорить, что и в университете атмосфера была также очень теплой. Я тоже испытал нечто подобное (но дополненное еще и заботой Алексея и Наташи обо мне при моих первых визитах в Австралию).

В результате у Алексея с Наташей быстро сложились дружеские отношения со многими людьми, среди которых наиболее близкими стали Phil и Marion Diamond, Mabo Suzuki в Брисбене, Peter Kloeden, Tony Klemm, Ian и Betty Collins в Джилонге и многие другие, о которых я, возможно, не знаю. Mabo и Tony с готовностью помогали Алексею с освоением работы с компьютерами. И все были готовы показывать окрестности и достопримечательности, помогать со многими мелочами, от которых зависит наша жизнь, особенно иностранца в чужой стране. О своей признательности всем этим людям много раз говорил мне Алексей, да и сам я все это испытал на себе и также всем им благодарен.

Такая «легкая» атмосфера — безусловно, наилучшее условие для творчества. И Алексей полностью погрузился в работу. Следует отметить, что Алексей был, пожалуй, наибольшим «коллективистом» в той коллективистской атмосфере школы Марка Александровича Красносельского, в которой и он и я выросли. Это означало, что он не боялся делиться идеями, мыслями и задумками с окружающими. При этом Алексей в отличие, скажем, от меня, обладал еще и талантом быстро распознавать силы и интересы окружающих и вовлекать их в научную деятельность сообразно с их возможностями. Кроме того, с самого начала работы в Австралии Алексей договорился с Филом и Питером (или поставил их в известность?), что соавторами научной работы будут считаться все те, кто хоть как-то хоть на каком-то этапе принимал участие в ее обсуждении — таков был стиль школы Красносельского, к которому мы привыкли. Именно поэтому многие работы Алексея в тот период — это работы со многими авторами, и именно поэтому и Алексей и я считали бессмысленным обсуждать саму постановку вопроса о вкладе того или иного человека в работу. Мне кажется (а может быть, я и ошибаюсь), такой стиль работы был не совсем привычен в Австралии.

В ресторане: на минуточку задумался о математике. Брисбен, 1995г.

Так как для Алексея слова «наука, математика» и «жизнь» были неотделимы, то его «думание» над задачами продолжалось без преувеличения круглосуточно. Не раз я ловил его вдруг застывший взгляд во время какой-нибудь вечеринки, которые так любили устраивать наши австралийские друзья, а после вечеринки слышал: «Слушай, Виктор, я придумал…» или «… я, наконец, понял…». И только своим детям, Оле и Алеше он отдавался на сто процентов. Для нас наиболее продуктивными были те многие часы разговоров и споров (а иногда и ругани, увы!), когда мы в Джилонге ходили пешком километра по 3-4 от дома до университета и потом домой, или в Брисбене добирались до университета на пароме через реку, или когда много времени проводили в lunch-room, сидя с чашкой чая или кофе и обсуждая, обсуждая, обсуждая…, или гуляли по живописным тропинкам вокруг университета… Надо сказать, что такая манера работы (естественная в окружении Марка Александровича Красносельского) поначалу, как мне кажется, приводила в недоумение Питера Клоедена и несколько беспокоила его. Но нам он ничего не говорил, и постепенно, когда от Алексея пошел вал идей и теорем, совсем успокоился, хотя, возможно, я просто как-то не так истолковывал его взгляд. В любом случае, мы с Алексеем благодарны ему уже за то, что он привил нам вкус к красному вину!

Переправа на пароме по пути в университет. Брисбен, 1995г.

«Раскручивать» какие-то задачи с Алексеем мне всегда было очень легко — абсолютная самоотдача со стороны Алексея, четкие и всегда до мелочей «вылизанные» формулировки. И самое главное — мы думали хоть и «в близких терминах», но все же по-разному, а значит, каждый всегда мог ожидать от другого какого-то нового взгляда на задачу или неожиданной идеи, которые могли принципиально изменить весь ход рассуждений! В доказательствах Алексея можно было не сомневаться, и я могу припомнить лишь два-три случая, когда Алешкой была допущена ошибка, да и то во второстепенных ситуациях. В работе двух ученых всегда есть место для возникновения «трений» — они по-разному научно воспитаны, имеют различную манеру изложения, привыкли к различному уровню детализации в своих рассуждениях. С Алексеем таких проблем не возникало — если он слышал от меня, что то или иное место в доказательстве недостаточно, на мой взгляд, понятно или, наоборот, слишком затянуто, он готов был внести исправления или приводил четкие аргументы, почему этого не следует делать. В таких вопросах мы оба готовы были идти навстречу друг другу. Но все же, все мы люди, и иногда мы «заводились» и решали те или иные задачи на-спор или в пику друг другу. Были случаи, когда мы не разговаривали несколько дней, например, из-за несогласия по такому «принципиальнейшему» вопросу, как обозначить ту или иную переменную — буквой «x» или  «y», или чего-либо подобного… Но вот при оформлении работ, да еще «по переписке», работать с Алексеем было временами действительно трудно — несмотря на все договоренности кто и в какой последовательности правит статью он часто торопился и вносил исправления «вне очереди» или не в самый последний вариант работы. Естественно, потом много времени уходило на то, чтобы разобраться с тем, что получилось, и привести все в порядок. Впрочем, желание изложить все быстрее и лучше — не самый большой грех ученого, даже если приводит к некоторым неудобствам!

В Австралии началась преподавательская деятельность Алексея. Он долго сомневался, браться ли за это — все-таки его английский, особенно в части произношения, был в то время далек от совершенства. Но в конце концов согласился и уже через месяц после очередной лекции или семинарского занятия со смехом рассказывал мне, как, устав от косноязычия какого-то студента и отчаявшись добиться от него четкости в рассуждениях, не выдержал и стал объяснять тому на своем весьма несовершенном английском, что основная беда этого студента — в неумении владеть английским языком!

Гранты имеют обыкновение кончаться, а Австралия хоть и всем хороша, но все же находится так далеко от дома… Кроме того, у Алексея все больше и больше нарастала тоска по его временно заброшенному, но любимому детищу — гистерезису. И поэтому со временем у Алексея все чаще стала возникать мысль перебраться куда-нибудь поближе к России или Европе, где гистерезисная тематика продолжала активно развиваться, что он и сделал, переехав после серии собеседований в Ирландию.

Хотя именно в Австралии мы очень сблизились с Алексеем, он так и остался для меня «черным ящиком». Лишь случайно, в каком-то споре я узнал, что он очень любит поэзию… Но до сих пор я так и не понял, почему всю свою жизнь он называл меня официально Виктором, а не Витей, как все остальные. Этот вопрос не даст мне покоя до конца жизни…

Я опять за компьютером, заканчиваю свои воспоминания. Вместо солнца за окном свинцовое небо, сильный ветер и то и дело моросит мелкий дождь, переходящий в снег. Скоро зима. В свой предпоследний приезд в Москву в конце 2009 года Алешка так радовался зиме…


Как молоды мы были.
Как искренне любили.
Как верили в себя…